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BlackScholes模型中d1d2是怎么得到的如何理解BlackScholes模型

2020-01-07 12:22:59

对于第一个问题,我们先来看看BS模型是怎么推导出来的。推导BS模型对于数学的要求比较高,本文将略过较“数学化”的证明,仅写出这些内容的用法、结论和意义。推导前应该知道的知识:鞅(martingale):在风险中性测度下,股票的折现价值为鞅。你只需知道对任意时刻都成立,r是利润率,δ是股票分红,是股票在t时刻的价格。随机微积分(Itōcalculus):,W(t)是布朗运动。(仅把它当做一种计算方式)现在我们开始推导BS模型下的股票价格。BS模型假设股票价格符合以下随机微分方程:.由随机微积分,解出.(感兴趣的同学可以对其微分验证一下)再由鞅的性质,解出.所以,BS模型下股票的价格服从.接下来就是推导期权价格了,本文将仅推导看涨期权(CallOpiton),看跌期权类似。在风险中性测度下,看涨期权的价格为,其中在X>0时为X,其余为0.,所以(这里写得在数学上不太严谨,不过直觉上理解没问题)所以期权价格就是,是标准正态分布。接下来的事情有点复杂,我们整理一下思路。首先,我们要去掉,想把它变为正常运算。去掉后,我们要证明前半部分(含S)的项是,后半部分(含K)的项是只有t时刻股票价格高于K才不为0,所以积分区间可以转变为(d2出现了)因此,.积分右半边就没有问题了,至于左半边,我们用配方法,把对x的积分转变为对的积分,就可以得到新的积分区间(d1出现了)积分左半边也是相同的道理,.于是我们就得到了BS公式:.对于第二个问题,我们思考d1和d2的意义。N(d2)是在风险中性测度下,期权被执行的概率。这点应该很容易理解,毕竟在上述积分推导中,当我们要求St>K时,我们就推出x>-d2。x是标准正态分布,所以St>K的可能性就是N(d2)关键在于如何理解N(d1)。在BS后续讨论中,我们讨论到一个重要希腊字母——△(delta)..(对于没有分红的情况),△衡量了当股票价格有小变动时期权价格变化。delta在后面有很重要的意义,但是我在此就不赘述了。总的来说,d1描述期权对股价的敏感程度,d2描述期权最后被执行的可能性。更深一步来说,N(d1)是在风险中性测度下,按股价加权得到的期权被执行的可能性,N(d2)是在风险中性条件下,(不按股价加权)得到的期权被执行的可能性。更新:对于本文最后一句话的理解@张栋说得很好,推荐给大家。本文有两处笔误,实在抱歉。感谢@HsiWang指出,已修改。

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